Class 10. 부재력과 AFD / SFD / BMD (단순보 - 집중하중)

Class 10

안녕하세요. 오늘도 밍밍한 공부방을 찾아주신 여러분 감사합니다.

오늘은 정역학의 꽃이라고 할 수 있는

부재력과 부재력도(AFD/SFD/BMD)를 그리는 방법에 대해서 배워보도록 할건데요,

제일 먼저 기본이 되는 단순보 부터 알아보도록 하겠습니다.

저희는 여태까지 지점 반력을 구하는 방법을 배워왔습니다.

그럼 부재력은 무엇일까요??

구조물이 평형을 이루기 위해서는 구조물의 밖에서 작용하는

하중과 지점반력이 평형을 이루면 된다고 배웠습니다.

하지만 구조물 내부는요??

구조물 내부에서 평형을 이루지 않는다면 부재가 늘어나거나, 부러지거나, 휘어지겠죠??

그래서 외력 (하중, 지점반력)에 대항하여 부재 안에서

힘의 평형을 맞추기 위해 발생하는 힘을

부재력 또는 단면력 이라고 합니다.

즉, 구조물 밖에서 작용하는 힘에는 하중과 지점반력이 있고

구조물 안에서 작용하는 힘은 부재력 또는 단면력이라고 하는데

부재력은 크게 3가지 종류가 있습니다. 그 종류는 다음과 같습니다.

축력/축방향력 (Axial Force)

전단력 (Shear Force)

휨모멘트 (Bending Moment)

축력은 인장력을 ( + ), 압축력을 ( - )로 하고

전단력은 위쪽을 향하면 ( + ), 아래쪽을 향하면 ( - )로 하고

휨모멘트는 시계방향이면 ( + ), 반시계방향이면 ( - )로 합니다.

그럼 이제 예제를 통해서 이해를 해보도록 할텐데요,

부재력을 구하는 방법과 부재력도를 그리는 방법을 한꺼번에 진행하도록 하겠습니다.

위와 같은 문제를 푸는 방법은 다음과 같습니다.

1. 지점 반력 구하기

2. 단면력 구하기

3. 단면력도 그리기

지점 반력을 구하는 방법은 앞에서 많이 했기 때문에

이제 지점 반력을 표시하지 않고 바로 구해보도록 하겠습니다.

1. 지점 반력 구하기

2. 단면력 구하기

단면력을 구하는 방법은 구간을 나눈 다음에 중간을 잘라서

부재의 왼쪽 또는 오른쪽을 보는 것입니다.

구간을 나누는 방법은 지점이 있는 곳 (위 문제에서는 A, B)과

힘이 주어지는 곳 (위 문제에서는 C)을 중심으로 나누면 됩니다.

따라서 위 문제에서 구간은 2가지로 나눌 수 있겠죠??

A~C 구간과 C~B구간으로 말입니다.

그럼 구간을 나눈 후에 그 중간을 자른 다음에 왼쪽 또는 오른쪽을 바라본 다음

전단력과 휨모멘트를 각각 구해주시면 됩니다.

그럼 계속 풀어보도록 할까요??

① 왼쪽을 바라봤을 경우

1) A~C 구간

이 처럼 A~C 구간의 중간을 잘라서 왼쪽만 보면 되는겁니다.

축방향력은 좌우 수평 방향으로 작용하는 힘을 보면 되고

전단력은 아래 위 수직 방향으로 작용하는 힘을 보면 됩니다.

일단 수평 방향으로 작용하는 힘은 없으니까 축방향력은 0이 되겠네요.

그리고 수직으로 작용하는 힘은 A의 지점반력인 32kN이 있습니다.

따라서 A~C 구간에서의 전단력은 ( + ) 32kN입니다.

이제 휨모멘트만 구하면 되는데요, 휨모멘트는 앞시간에도 말씀드렸듯이

(힘 X 거리)로 구합니다. 힘은 있는데 거리 설정이 안되어 있죠??

A~C 구간에서 임의의 점을 중심으로 잘랐기 때문에

A에서 자른 점까지의 거리를 X로 설정해 주면 됩니다.

다음 그림과 같이 말이죠.

여기서 주의할 점은!!!

지점 반력을 구할 때는 A점이나 C점이나 B점을 기준으로 아무데서나 구해도

∑M = 0이 되어야 했는데 단면력을 구할 때는 ∑M = 0을 구하는 것이 아닙니다.

그냥 (힘 X 거리)로 휨모멘트를 구해주면 되는데 주의할 점은

반드시 자른 점이 기준이 되어야 한다는 것입니다.

그럼 자른 점을 기준으로 볼까요??

A에 작용하는 지점 반력인 32kN이 기준 점으로부터 X 만큼 떨어져서

기준 점을 시계 방향으로 돌리고 있습니다.

따라서 휨모멘트는 32X 가 되겠죠??

이게 끝입니다!!

A~C 구간에서의 휨모멘트는 32X 가 되는 것입니다.

이제 C~B 구간을 구할 차례입니다.

2) C~B 구간

C~B 구간의 중간을 자른 다음 왼쪽을 보면 다음과 같겠죠??

어차피 수평으로 작용하는 힘은 없으니까 축방향력은 0kN입니다.

전단력을 구해보면 위로 작용한는 A의 지점반력 32kN과

아래로 작용하는 하중 80kN이 있습니다.

그럼 32 - 80 kN이 됩니다.

따라서 C~B구간의 전단력은 ( - 48 )kN이 됩니다.

이제 휨모멘트를 구해보도록 하죠.

자른 점이 기준점이 되고

A의 지점반력 32kN이 X 만큼 떨어져서 기준점을 시계방향으로 돌리고 있고

80kN의 하중이 ( X - 6 )m 만큼 떨어져서 기준점을 반시계 방향으로 돌리고 있습니다.

여기서 주의할 점은!!

아까 A~C 구간에서의 X 와 지금 C~B 구간에서의 X 는 다른 X 라는 점!!

따로따로 생각 하시면 됩니다.

A~C 구간에서의 값을 구하려면 A~C 구간에서의 식만 이용하면 되고,

C~B 구간에서의 값을 구하려면 C~B 구간에서의 식만 이용하면 됩니다.

다시 본론으로 돌아와서 말씀드렸던 대로 힘이 작용하고 있으니 식만 써주면 됩니다.

따라서 C~B 구간의 휨모멘트는 32X - 80(X - 6) = - 48X + 480 이 됩니다.

이제 왼쪽을 바라봤을 경우는 마무리 했습니다.

그럼 오른쪽을 바라본 경우도 해야겠죠??

오늘은 글이 좀 길어질 것 같네요.....;;

② 오른쪽을 바라봤을 경우

1) A~C 구간

A~C 구간의 중간을 자른 다음 오른쪽을 보게 되면 위 그림과 같을 것입니다.

오른쪽을 보게 되는 경우 주의해야 하는 점은

1. 항상 전체의 ( - )를 붙일 것!

2. A 점에서 자른 점까지의 거리를 X 로 했다면, 오른쪽에서 봤을 때는

B 점에서 자른 점까지의 거리를 X' 으로 하고 X' 을 사용할 것!

이렇게 두 가지만 조심하시면 됩니다.

그럼 구해볼까요??

축방향력은 여전히 0kN이고,

전단력은 (- 80kN + 48kN) = - 32kN인데

전체에 ( - )를 붙이기로 했으니까 ( - ) - 32kN = 32kN입니다.

휨모멘트는 80kN이 (X' - 4) m 만큼 떨어져서 자른 점을 시계방향으로 돌리고

48kN이 X' m 만큼 떨어져서 자른 점을 반시계방향으로 돌리고 있습니다.

따라서 80(X' - 4) - 48X' = 32X' - 320 이 됩니다.

하지만 이것 또한 전체에 ( - )를 붙여야 하니까

결국엔 320 - 32X' 이 됩니다.

2) C~B 구간

C~B 구간의 중간을 자른 다음 오른쪽을 보면 위 그림과 같을 것입니다.

축방향력은 그대로 0kN이고

전단력은 48kN인데 전체 ( - ) 해서 - 48kN이 되고

휨모멘트는 48kN이 X' m 만큼 떨어져서 자른 점을 반시계 방향으로 돌리고 있으니까

- 48X' 이 되는데 전체 ( - ) 하면 48X' 이 됩니다.

그럼 이제 다 구했습니다.

한번 정리해 보도록 하겠습니다.

① 왼쪽을 바라봤을 경우

1) A~C 구간

축방향력 : 0kN

전단력 : 32kN

휨모멘트 : 32X  [ kN · m ]

2) C~B 구간

축방향력 : 0kN

전단력 : - 48kN

휨모멘트 : - 48X + 480 [ kN · m ]

② 오른쪽을 바라봤을 경우

1) A~C 구간

축방향력 : 0kN

전단력 : 32kN

휨모멘트 : 320 - 32X' [ kN · m ]

2) C~B 구간

축방향력 : 0kN

전단력 : - 48kN

휨모멘트 : 48X' [ kN · m ]

휴~ 이제 다 왔습니다.

이제 AFD/SFD/BMD만 그리면 끝납니다.

AFD부터 그려볼까요??

3. 단면력도 그리기

① AFD

축방향력은 A~C 구간, C~B 구간 모두 0kN이었기 때문에

그냥 직선하나 쭉 그어주시면 됩니다. 사실 그리지 않아도 상관 없어요~~

② SFD

A~C 구간에서의 전단력은 32kN이고

C~B 구간에서의 전단력은 - 48kN으로

왼쪽을 본 경우와 오른쪽을 본 경우가 똑같았습니다.

영점을 기준으로 위쪽이 ( + ), 아래쪽이 ( - )로 그려주시면 됩니다.

A, B, C 점과 값 표시하는 것 잊지 말아주세요!!

③ BMD

BMD를 그리기 전에 어떻게 그리는지 설명해 드리겠습니다.

아까 구했던 식들을 다시 한번 정리해 보죠.

A~ C 구간일 때는 다음과 같습니다.

32X  [ kN · m ] (왼쪽을 봤을 때)

320 - 32X' [ kN · m ] (오른쪽을 봤을 때)

왼쪽을 봤을 때의 식으로 A점의 휨모멘트를 구하려면 X에 무슨 값을 넣으면 될까요??

답은 0입니다. X가 A점으로부터 떨어진 거리이기 때문에
A점은 A점으로 부터 0m 떨어져 있는 것입니다.

따라서 A점에서의 휨모멘트는 0kN · m 입니다.

그럼 C점의 휨모멘트를 구하려면 X에 무슨 값을 넣으면 될까요??

답은 6입니다. C점은 A점으로부터 6m 떨어져 있기 때문입니다.

그럼 6을 넣으면 C점에서의 휨모멘트는 192kN · m 가 나오게 됩니다.

단! 여기서 주의해야 할 점은 B점의 휨모멘트를 구하려고 X에 10을 넣으면 안됩니다.

왜냐하면 A~C 구간에서만 통하는 식이기 때문입니다.

그럼 오른쪽을 봤을 때를 살펴 볼까요??

오른쪽을 봤을 때의 식으로 A점의 휨모멘트를 구하려면

X'에 무슨 값을 넣으면 될까요?

정답은 10입니다. X'은 B점으로부터 떨어진 거리이기 때문입니다.

그럼 10을 넣으면 320 - 320 = 0이 나오게 됩니다.

따라서 A점에서의 휨모멘트는 0kN · m 으로 왼쪽을 봤을 때와 똑같이 나옵니다.

그럼 C점의 휨모멘트를 구하려면 X'에 무슨 값을 넣으면 될까요??

답은 4입니다. C점은 B점으로부터 4m 떨어져 있기 때문입니다.

그럼 4를 넣으면 C점에서의 휨모멘트는 192kN · m 가 나오게 됩니다.

이 또한 왼쪽을 봤을 때와 똑같이 나옵니다.

여기서 알 수 있는 점은 무엇일까요??

왼쪽을 보든 오른쪽을 보든 똑같이 결과가 나옵니다.

따라서 더 계산하기 좋은 쪽을 선택해서 구하시면 됩니다.

다만 오른쪽을 볼때는 X'를 사용하는 것과

전체에 ( - )를 붙이는 것만 유의하시면 됩니다.

그럼 이제 C~B 구간을 살펴보도록 하겠습니다.

- 48X + 480 [ kN · m ] (왼쪽을 봤을 때)

48X' [ kN · m ] (오른쪽을 봤을 때)

C점을 먼저 구하면

왼쪽을 봤을 때는 X에 6을 넣으면 되니까 192kN · m

오른쪽을 봤을 때는 X'에 4를 넣으면 되니까 192kN · m

B점을 구하면

왼쪽을 봤을 때는 X에 10을 넣으면 되니까 0kN · m

오른쪽을 봤을 때는 X'에 0을 넣으면 되니까 0kN · m

따라서 A점은 0kN · m, C점은 192kN · m, B점은 0kN · m 인것을 알 수 있습니다.

그런데 식에 X 또는 X'이 붙어있죠??

그러니까 이 식은 1차 함수라는 이야기입니다.

1차 함수면 뭐죠??

맞습니다. 직선입니다.

이제 각 점을 직선으로 그어주기만 하면 되는데

아까 AFD나 SFD를 그릴 때에는 원점을 기준으로 위에가 ( + ), 아래가 ( - )였습니다.

하지만 BMD만 반대로 원점을 기준으로 아래가 ( + ), 위에가 ( - )입니다.

따라서 BMD는 다음 그림과 같습니다.

이렇게 부호와 값을 써 주시는 것이 좋습니다!!

후.... 이렇게 해서 한 예제가 끝이 났네요.

더 많이 풀어드리고 싶지만 글이 너무 길어져서 여기서 끝내야 할 것 같습니다.

혹시 질문이 있으시다면 댓글로 남겨주시면 답변해드리도록 하겠습니다.

다음 시간에는 단순보에 등분포하중이 작용하는 경우를 살펴보도록 하겠습니다.

다음 시간부터는 왼쪽 오른쪽 둘 다 안하고 제가 편한 걸로 선택하도록 하겠습니다.

그러니까 이번 수업을 확실하게 이해하고 넘어가셔야 합니다.

그럼 다음 시간에 만나요~~~