Class 12. 부재력과 AFD / SFD / BMD (단순보 - 등변분포하중)

Class 12

안녕하세요. 오늘도 밍밍한 공부방을 찾아주신 여러분 감사드립니다.

저번 시간에는 단순보에 등분포하중이 작용할 때

단면력과 단면력도를 그리는 방법에 대해서 알아봤는데요,

오늘은 단순보 등변분포하중이 작용할 때는 어떻게 하는지 살펴보도록 하겠습니다.

등분포 하중은 작용하는 범위의 중간에서 전체 하중이 작용하고,

등변분포 하중은 작용하는 범위의 2/3지점에서 전체 하중이 작용한다는 것 기억나시나요??

기억이 잘 안나신다면 여섯번째 시간을 보고 오시면 좋을 것 같습니다.

https://mmstudycafe.tistory.com/7

다 보고 오셨다면! 이제 바로 예제를 통해 이해를 해보도록 하겠습니다.

1. 지점 반력 구하기

등변분포하중의 전체 하중은 삼각형의 면적인 80kN이고,

이 80kN은 삼각형의 무게 중심인 A점으로부터 (6 + 4 X 2/3)지점에 작용하게 됩니다.

2. 단면력 구하기

① A~C 구간 (왼쪽에서 봤을 때)

축방향력 : 0kN

전단력 : 10.67kN

휨모멘트 : 10.67X  [ kN · m ] (단, X는 A점으로부터의 거리)

② C~B 구간 (왼쪽에서 봤을 때)

C~B 구간은 오른쪽을 보는것이 더 쉬울 것 같은데 왜 왼쪽을 선택했냐구요??

그렇게 느끼실 수도 있겠지만 여기서는 왼쪽을 선택하는 것이 현명합니다.

풀면서 설명드리도록 할게여!!

자 일단,

축방향력은 0kN

전단력을 구하려고 보니까 A점의 지점반력 10.67kN 은 알겠는데

잘린 삼각형을 어떻게 해야될지 곤란하시죠??

등변분포하중 편에서 말씀드렸듯이 저기 나와있는 40kN/m 는

제일 높은 높이를 의미합니다. 깜빡하고 화살표 표시를 못했는데

등변분포하중이 나오면 그렇게 이해하시면 되요.

전체 힘을 알기 위해서는 삼각형의 면적을 알아야 되겠죠?

즉, 밑변 길이와 높이를 알아야 합니다.

밑변 길이는 A점에서부터 잘린 점까지를 X 로 설정 했으니까

A~C 거리를 빼주면 밑변 길이가 나올 것 같습니다.

따라서 밑변 길이는 ( X - 6 )m 입니다.

이제 높이만 구하면 되는데

제일 높은 높이가 40kN/m 라고 했으니까

뭔가 "닮음비"를 써야할 것 같은 기분이 들지 않으세요?? 저만 그런가요..?? ㅎㅎ

네! 잘린 삼각형과 원래 삼각형은 닮은꼴이기 때문에

닮음비를 이용해주시면 됩니다.

밑변이 4m 일 때 40kN/m 이고

밑변이 ( X - 6 )m 일 때 YkN/m 입니다.

저희는 Y 를 구하면 됩니다.

즉, 4 : 40 = ( X - 6 ) : Y 가 되는 것입니다.

이 비례식을 계산해서 Y 를 구해보면

Y = 10X - 60 이 됩니다.

따라서 잘려진 삼각형의 면적은

( X - 6 ) · (10X - 60) · 1/2 입니다.

계산해보면 ( 5X² - 60X + 180 ) 가 됩니다.

따라서 이것이 잘려진 삼각형의 전체 힘입니다.

그래서 전단력은

10.67 - ( 5X² - 60X + 180 ) = - 5X² + 60X - 169.33 [ kN ] 이 됩니다.

그럼 이제 휨모멘트를 구해볼까요??

일단 자른 점이 기준이 되니까

A의 지점반력 10.67kN 이 X 만큼 떨어져서 기준점을 시계방향으로 돌리고 있습니다.

이제 또 잘려진 삼각형이 문제가 되는데

아까 전단력 했을 때 전체 힘 구해놨죠??

그럼 이 전체 힘은 또 잘려진 삼각형의 2/3 지점에서 작용하게 되겠죠??

후.... 짜증나시죠?? ㅋㅋㅋㅋ

조금만 힘내서 끝내봅시다!!

여기서 주의할 점은 자른 점이 기준이라는 것입니다!

거리 잡을 때 조심해주세요.

그럼 전체 힘 ( 5X² - 60X + 180 ) 이 삼각형 밑변의 2/3지점에서 작용하니까

자른 점을 기준으로 보면 밑변의 1/3 지점에서 작용하는 것입니다.

따라서 ( X - 6 ) · 1/3 지점에서 작용하는 것이죠.

즉, ( 5X² - 60X + 180 ) 이 ( X - 6 ) · 1/3 떨어져서 기준점을 반시계방향으로 돌립니다.

이것을 정리하면

이렇게 됩니다.

이게 C~B 구간의 휨모멘트 입니다.

※ 오른쪽을 보지 않은 이유

오른쪽을 보게 되면 위 그림과 같이 되는데요,

빗금친 부분의 형태가 "사다리꼴"이죠?

그 이야기는 사다리꼴의 면적을 구해서 전체 힘을 알아야 되고

휨모멘트를 구할 때 사다리꼴의 무게중심을 계산해서 작용점을 알아야 합니다.

삼각형이면 닮음비로 끝나는데 사다리꼴은 가능은 하지만 귀찮잖아요;;

다시 본론으로 돌아와서 정리해보도록 하겠습니다.

① A~C 구간 (왼쪽에서 봤을 때)

축방향력 : 0kN

전단력 : 10.67kN

휨모멘트 : 10.67X  [ kN · m ] (단, X는 A점으로부터의 거리)

② C~B 구간 (왼쪽에서 봤을 때)

축방향력 : 0kN

전단력 : - 5X² + 60X - 169.33 [ kN ]

휨모멘트 : -5/3X³+30X² - 169.33X + 360 [ kN · m ]

그럼 이제 단면력도를 그려보겠습니다.

① SFD

A~C 구간은 10.67kN 으로 일정하고 C~B 구간 식을 이용하여

C, B점의 전단력을 구하고자 X 에 각각 6과 10을 넣으면

각각 10.67kN, -69.33kN 이 나오게 됩니다.

C~B 구간의 식은 2차 함수이므로 2차함수 임을 표시해줍니다.

그리고 2차 계수가 음수이므로 위로 볼록하게 그려줍니다.

② BMD

A~C 구간 식을 이용하여 A, C점의 휨모멘트를 구하고자

X에 각각 0과 6을 넣으면 각각 0kN · m 와 64.02kN · m 이 나오게 됩니다.

그리고 C~B 구간 식을 이용하여 C, B점의 휨모멘트를 구하고자

X에 각각 6과 10을 넣으면 각각 64.02kN · m 와 0.333333kN · m이 나오게 됩니다.

B점의 휨모멘트는 원래 0이 나와야하는데

이것은 지점 반력을 구할 때 소수 셋째 자리에서 반올림한 오차입니다.

A~C 구간 식은 1차 식이므로 직선으로 그어주고

C~B 구간 식은 3차 식이므로 3차함수라고 표시해줍니다.

왜 아래로 볼록하게 그렸는지를 설명해 드릴 수는 있는데

그림 그리기가 너무 복잡해서요....

정말 궁금하신 분들은 댓글이나 방명록에 남겨주시면 답변해드리도록 하겠습니다.

오늘.... 후....

정말 힘드셨죠?? 저도 진이 다 빠지네요..

등변분포하중은 식이 좀 더럽고 복잡해서 계산 실수를 했을 수도 있어요.

너그럽게 양해 부탁드리고 틀린 부분이 있다면 댓글로 남겨주세요!!

다음 시간에는 "단면력/단면력도의 표준화"에 대해서 배워보도록 하겠습니다.

다음 시간에 만나요~~