Class 6. 지점반력 구하기 (등변분포하중)

Class 6

오늘도 밍밍한 공부방에 들려주신 여러분 감사드립니다.

오늘은 단순보와 켄틸레버보에 등변분포하중이 작용할 때

지점반력을 구하는 방법에 대해서 살펴볼텐데요,

오늘은 딱 기본으로 2문제만 풀어보고

마지막에 난이도가 조금 있는 예제를 풀어보도록 하겠습니다.

그럼 시작하겠습니다!

등변분포 하중은

하중의 크기가 변하면서 어떤 범위에서 작용하는 하중이라고 했습니다.

등변분포 하중이 무조건 삼각형의 형태만 있는 것은 아니고

사다리꼴의 형태나 포물선을 그리는 하중도 있습니다.

저희는 삼각형 형태를 이루는 등변분포 하중만 보도록 하겠습니다.

사다리꼴이나 포물선의 형태를 가진 등변분포 하중에 대해서는

나중에 기회가 된다면 하도록 하겠습니다.

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다시 본론으로 들어와서

등분포 하중의 총합을 구할 때에는 사각형의 면적을 구했었습니다.

그럼 등변분포 하중의 총합을 구할 때는 어떻게 해야할까요??

네! 바로 삼각형의 면적을 구하면 되는 것입니다. (밑변 X 높이 X 1/2) 이렇게 말이죠.

또 등분포 하중의 총합을 구하고 나서

그 하중이 작용하는 작용점을 사각형의 무게중심인 밑변의 1/2로 했었죠.

그럼 등변분포 하중은 작용점을 어떻게 정할까요??

삼각형의 무게중심이 있는 곳으로 하면 되겠죠?

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그런데 여기서 중요한 점이 있습니다.

삼각형의 형태가 하나만 있는것이 아니죠??

정삼각형, 직각 삼각형, 이등변 삼각형 등등 삼각형의 형태는 너무나 많습니다.

우리는 직각 삼각형만 다루기로 할텐데요,

만약 다른 형태의 삼각형이 나왔다면 직접 무게중심을 구해주시면 됩니다.

삼각형의 무게중심은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

각 꼭지점에서 마주보고 있는 선분의 길이를 1/2로 나누는 선을 그리고

그 선들이 만나는 점을 무게중심으로 선정해주시면 됩니다.

저희는 하중의 작용점을 알기 위해서 무게중심을 구하는 것이기 때문에

무게중심이 삼각형 밑변의 어디에 위치하고 있는지만 잘 봐주시면 됩니다.

예를 들어, 위의 그림과 같이 정삼각형에서 무게중심은 밑변의 1/2지점에 위치하고,

직각삼각형에서 무게중심은 밑변의 2/3지점에 위치하고 있습니다.

이것만 기억하시면 문제를 풀어가시는데 별 문제 없으실 것입니다.

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무게중심에 대해서는 나중에 또 배울 기회가 있으니까요, 이 정도까지만 하겠습니다.

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그럼 바로 예제를 풀어보도록 할까요??

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① 단순보에 등변분포 하중이 작용할 경우

등분포 하중은 일정한 크기의 하중이 어떤 범위에 걸쳐서 있는 것이기 때문에

(W = 3kN/m) 이런식으로 표현을 하였습니다.

하지만 등변분포 하중은 크기가 변하기 때문에 보통 제일 큰 하중,

즉 삼각형의 높이만 (W = 4kN/m)로 표현하고 화살표를 그려서

어떤 선을 가르키고 있는 것인지 알려줍니다.

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이제 지점반력과 등변분포 하중이 어떻게 어디로 작용하는지 살펴볼까요??

삼각형의 면적이 등변분포 하중의 총합이기 때문에

삼각형의 높이는 4kN/m, 밑변의 길이는 9m로 계산하면

(4 X 9 X 1/2) = 18kN이 등변분포 하중의 총합이 됩니다.

그리고 이 18kN의 하중은 삼각형의 무게중심, 즉 밑변의 2/3지점에 위치하므로

A점으로부터 9 X 2/3 = 6m 떨어진 곳으로 작용하게 됩니다.

그럼 이제부터는 아주 쉽죠?? 바로 풀어보도록 하겠습니다.

이 문제에서 얻을 수 있는 포인트는 무엇일까요??

하중이 비대칭으로 작용하는데 일정한 비를 가지고 작용하면

그대로 지점반력도 그 비율대로 나눠가진다는 것입니다.

쉽게 말하면 보의 길이의 비를 2 : 1으로 나누는 수직 하중이 작용할 경우

보 양끝의 수직반력은 1 : 2가 된다는 것입니다.

다음 그림과 같이 말입니다.

그럼 이제 다음 문제로 넘어가보겠습니다.

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② 켄틸레버보에 등변분포 하중이 작용할 경우

지점반력은 모두 미리 표시해 놓았습니다.

이번 문제는 켄틸레버보에 등변분포 하중과 집중하중이 함께 작용하고 있네요.

그럼 바로 풀어보도록 할까요??

수평으로 작용하는 힘이 없으므로 일단 H_A = 0 kN 입니다.

수직으로 작용하는 힘은 R_A, 10kN, 등변분포 하중이 있는데

등변분포 하중의 총합은 삼각형의 면적인 (4kN/m X 5m X 1/2) = 10kN 입니다.

그러므로 R_A - 10 - 10 = 0이 되야하니까 R_A = 20kN입니다.

모멘트는 M_A가 반시계 방향( - )으로 작용하고 있고

10kN이 A점을 기준으로 3m 떨어져서 A점을 시계방향( + )으로 회전시키고 있고

등변분포 하중이 A점을 시계방향( + )으로 회전시키고 있습니다.

등변분포 하중의 모멘트를 한번 구해보자면

모멘트는 (힘 X 수직거리)로 구하니까 힘과 수직거리를 알아야합니다.

등변분포 하중의 힘은 아까 구했던 삼각형의 면적인 10kN이고

그 10kN은 A점으로부터 5m 떨어지고나서 또 5m의 2/3지점에서 작용합니다.

그래서 거리는 (5 + 5 X 2/3)이 되는 것입니다.

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문제를 임의대로 만들게 되다보니까 숫자가 딱 떨어지지 않는 점은 양해부탁드립니다.

그래도 웬만하면 딱 떨어지게 문제를 만들기 위해서 노력중이니까 응원 부탁드려요~~

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그럼 마지막으로 난이도가 조금 있는 문제를 풀어보고 오늘은 마치도록 하겠습니다.

지금까지 배웠던 것을 총망라한 문제입니다.

지점반력은 표시하지 않았습니다. 직접 표시해보시고 답 보지 말고 한번 풀어보세요.

저는 풀이로 바로 들어가보도록 하겠습니다.

오늘은 여기서 포스팅을 마치도록 하겠습니다.

다음 시간에는 불안정, 정정, 부정정 구조물에 대해서 배워보도록 하겠습니다.

오늘도 밍밍한 공부방을 찾아주신 여러분께 감사드리며

다음 시간에 만나보도록 하겠습니다~~

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