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건축이야기/건축구조

Class 20. 단면 2차 모멘트 (I)

안녕하세요. 오늘도 밍밍한 공부방을 찾아주신 여러분 감사드립니다.

제가 요즘 너무 바쁜 나머지 블로그를 잘 돌보지 못한 점 너그러이 양해 부탁드리겠습니다.

응원해 주시는 댓글이 너무 많은 힘이 되었습니다.

하루라도 빨리 다음 포스팅을 올려드리고 싶었지만 그러지 못했던 점 죄송합니다.

그래도 제 글을 보시고 도움이 되셨다면 응원의 한마디 남겨주시면 감사하겠습니다.

 

 

 

 

자 오늘은!

드디어 단면 2차 모멘트에 대해서 설명을 드리겠습니다.

단면 2차 모멘트의 사전적 정의는 다음과 같습니다.

 

"단면이차모멘트 또는 단면의 관성모멘트, 또는 간단히 관성모멘트는 휨 또는 처짐에 대한 저항을 예측하는 데 사용되는 단면의 성질을 뜻한다." (출처 - 위키피디아)

 

위의 정의를 다시 말하자면,

단면 2차 모멘트는 단면의 성질 중 하나인데, 휨 또는 처짐에 대한 저항을 예측하는 지표가 되는 것입니다.

즉, 단면 2차 모멘트가 크면 휨에 대한 저항이 크고, 단면 2차 모멘트가 작으면 휨에 대한 저항이 작다는 뜻입니다.

 

그리고 단면 2차 모멘트의 식은 다음과 같습니다.

단면 1차 모멘트를 구하는 식과 비슷한거 같은데 조금 다른거 느껴지시나요??

네! 바로 단면 2차 모멘트의 식에서는 도심까지의 거리가 제곱이 됩니다.

저희가 단면 1차 모멘트를 구할 때 (도심까지의 거리) X (단면적) 으로 구한거 기억 나시죠??

 

단면 2차 모멘트는 구하는 방법이 약간 다르지만 일단

(도심까지의 거리의 제곱) X (단면적) 이라고 생각해 주시면 되겠습니다.

 

위에서 말씀드렸듯이 단면 2차모멘트는 단면 1차 모멘트를 구하는 방법과는 약간 다른데요,

실생활에서의 예시를 통해 이해를 도와드리겠습니다.

 

저희 어렸을 때 학교에서 잘못하면 선생님께 손바닥을 맞곤 했었죠. 그 선생님이 30cm 자를 들고 있었다고 가정해봅시다.

선생님이 자를 눕혀서 드셨을 때하고 선생님이 자를 세워서 드셨을 때를 생각하면 어느 것이 더 무서우신가요?

어떻게 맞으면 더 아프실거 같으신가요??

네 맞습니다. 자고로 30cm 자는 세워서 때려야 상대방에게 지옥을 보여줄 수 있는 것이죠.

 

단면 2차 모멘트 얘기 하는데 왜 선생님한테 맞는 이야기만 하냐고요??

자! 그럼 파고 들어가 봅시다.

여기 두 단면이 있습니다. 30cm 자가 눕혀져 있을 때의 단면과 세워져 있을 때의 단면입니다.

 

위 그림에서 너비(폭)는 b로, 높이는 h로 표시하였습니다.

왜 선생님이 30cm 자를 세워서 때리시면 죽도록 아픈 걸까요??

그것은 바로 30cm 자를 세우면 단면 2차 모멘트가 커지기 때문입니다.

아까 위에서 단면 2차 모멘트가 크면 휨에 대한 저항이 크다고 했죠??

이 말은 잘 휘어지지 않는다는 이야기 입니다. 그래서 세워서 때리면 아픈겁니다.

 

그 반대로, 눕혀져 있는 경우는 단면 2차 모멘트가 작아서 잘 휘어집니다.

그래서 눕혀진 자를 휘게 하면 잘 휘어지는데 세워서 휘게 해보려고 하면 죽어도 안되는 겁니다.

 

그러면 위에 그림에서 30cm 자가 세워져 있는 경우는 눕혀져 있는 경우와 비교 했을 때 어떻게 다른가요??

b는 확 줄어들고 h는 확 늘어났습니다.

이 말은 무엇일까요??

단면 2차 모멘트는 단면의 높이 h와 상당히 관련이 있고 비례 관계임을 알 수 있습니다.

그러면 이제 우리는 이게 정확히 얼마나 비례하는 건지 알아보고 이해하면 단면 2차 모멘트는 끝입니다.

 

 

 

 

단면 1차 모멘트는 (도심까지의 거리) X (단면적) 이라는 식을 이용하면 장땡이었지만

단면 2차 모멘트는 원래 처음 알려드린 식인 적분식을 이용하는 것이 원칙입니다.

 

그럼 적분식을 이용하여 직사각형 단면의 단면 2차 모멘트를 일반화 시켜보도록 하겠습니다.

문제를 풀기에 앞서 하나 짚고 넘어가자면, 단면 1차 모멘트를 구할 때는 X축이 단면의 바닥에 붙어 있었던 것을 기억하실 겁니다.

하지만 단면 2차 모멘트는 단면 1차 모멘트와 같이 X축이 도심을 지난다고 해서 0이 되지 않으므로

항상 단면의 도심축에 대한 단면 2차 모멘트를 아는 것이 중요합니다.

 

그럼 풀어보도록 하겠습니다.

이것으로 우리는 직사각형 단면의 도심에 대한 단면 2차 모멘트를 구할 수 있었습니다.

자세히 보니 단면 2차 모멘트는 폭(b)과 높이(h)에 비례하는데

높이에는 무려 세제곱에 비례합니다.

아까 30cm 자를 세웠을 때 높이가 얼마나 커졌는지 기억하시나요??

그것의 세제곱에 비례하니까 죽어라 휘어봐도 휘어지지 않는 것입니다.

단면 2차 모멘트가 기하급수적으로 커지니까요.

 

위에서 풀어봤듯이 단면 2차 모멘트는 적분식을 사용하여 구하는 것이 원칙입니다.

하지만 모든 단면이 사각형도 아니고 적분식을 사용하려면 복잡하고 시간도 많이 걸리겠죠??

그럴줄 알고 이 길을 앞서가신 분들께서 저희를 위해 미리 다 구해 놓으셨습니다.

다음과 같이 말이죠.

위의 그림에서 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 문제에서도 자주 나올 정도로 매우 중요합니다.

반드시 외워서 숙지하시는 것을 추천 드립니다!!

 

여기까지 단면 2차 모멘트에 대해서 살펴보았습니다!!

하고 끝날 줄 아셨죠?? 아직 한 발 더 남았습니다.

 

맨 처음에 제가 단면 2차 모멘트는 (도심까지의 거리의 제곱) X (단면적) 이라고 했는데

저희는 이 식을 사용한 적이 한번도 없어서 의아해 하셨을 텐데

이제부터 나옵니다.

 

위의 표에서도 볼 수 있듯이 우리는 반드시 중심축만이 아닌 도심과 떨어진 축에 대해서도 단면 2차 모멘트를 구할 수 있습니다.

이것을 축의 이동 이라고 하는데요, 축의 이동을 할 때 쓰여지는 공식이 바로바로

(도심까지의 거리의 제곱) X (단면적) 입니다.

 

그런데 말입니다, 도심까지의 거리의 제곱을 사용하니까 부호는 항상 ( + )가 될 것이라는 느낌오세요??

그러면 저 위의 표에서 사각형을 예로 들면 축이 사각형 위에 붙어 있거나 밑에 붙어 있어도

모두 연단축에 대한 단면 2차모멘트가 나올 것이라는 느낌이 팍팍 오시나요??

맞습니다. 저희가 단면 1차 모멘트를 구할 때는 축이 도심을 중심으로 오른쪽에 있는지 왼쪽에 있는지

혹은 아래에 있는지 위에 있는지에 따라서 ( + )와 ( - )를 구분했지만,

단면 2차 모멘트를 구할 때는 그냥 도심으로부터 떨어진 거리만을 생각해 주시면 되겠습니다.

 

그럼 약간 어려운 예제를 통해 이해와 실력을 동시에 해결해 보겠습니다.

 

문제를 풀어보도록 할건데요, 시작하기에 앞서 어떻게 풀지 설계부터 해보겠습니다.

단면 2차 모멘트도 단면 1차 모멘트와 같이 단면을 나누어서 풀 수 있습니다.

제가 문제에 일부러 점선 처리를 해놨는데요, 저렇게 단면을 나눠서 나중에 다 더해주면 됩니다.

 

자 일단 문제를 보고 눈에 들어오는것이 위쪽 플랜지의 두께는 1 cm, 아래쪽 플랜지의 두께는 2 cm로 서로 동일하지가 않습니다.

이 말은, 한쪽만 구하고 2배를 할 수 없다는 이야기 입니다. 또한 전체 단면의 무게중심이 어디 있는지도 모르게 됐습니다.

두번째로, X축이 웨브 높이의 1/2 지점에 위치하고 있지 않습니다.

이 말은, X축을 중심으로 웨브를 위쪽과 아래쪽으로 나누어 계산해야된다는 뜻입니다.

 

그럼 풀어보도록 하겠습니다.

단면 2차 모멘트는 중심축에 대한 것을 먼저 구해야 된다고 했었죠??

위쪽 플랜지로 예를 들면, 위쪽 플랜지의 중심축은 X축과 6 cm 하고도 1 cm의 반인 0.5 cm 더 떨어져 있는 곳에 위치합니다.

바로 그 중심축에 대한 위쪽 플랜지의 단면 2차 모멘트는 위의 표와 같이 구해 주시면 되는 것입니다 (bh^3/12).

그런 다음에 그 중심축을 X축으로 축의 이동을 해서 축을 맞춰 주어야 하는데

그 때 (도심까지의 거리의 제곱) X (단면적) 을 사용합니다.

이렇게 단면을 4개로 나눈 부분에 대해서 다 적용해주시면 됩니다. 그리고 마지막에 다 더해주시면 됩니다.

다음 처럼 말입니다.

위쪽 플랜지는 (UF; Upper Flange), 아래쪽 플랜지는 (LF; Lower Flange),

웨브 위쪽은 (UW; Upper Web), 웨브 아래쪽은 (LW; Lower Web)로 표시 하였습니다.

오늘은 여기까지 해서 포스팅을 마치도록 하겠습니다.

다음 시간에는 "단면의 성질_기타편" 으로 돌아오도록 하겠습니다.

 

긴 글 끝까지 읽어주셔서 감사드립니다. 그리고 제 글을 기다려주시는 분들께 항상 감사드립니다.

빨리 바쁜 것이 마무리 되어서 포스팅을 자주 할 수 있는 날이 왔으면 좋겠네요.

 

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